行最简形

定义行最简形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）是一种特殊的行梯形形式，其中每个主元是1，并且是其所在列的唯一非零元素。这实际上是此矩阵中可能存在的最大单位矩阵,

RREF(C)=[IrFr×(n−r)O(m−r)×rO(m−r)×(n−r)]\text{RREF}(C) = \begin{bmatrix} I_r & F_{r\times (n-r)} \\ O_{(m-r)\times r} & O_{(m-r)\times (n-r)} \end{bmatrix} RREF(C)=[Ir​O(m−r)×r​​Fr×(n−r)​O(m−r)×(n−r)​​]

其中：

IrI_rIr​ 是 rrr 阶单位矩阵，rrr 是矩阵 AAA 的秩。FFF 是一个 r×(n−r)r \times (n-r)r×(n−r) 矩阵，包含行最简形式中单位矩阵右侧的元素。下方的 (m−r)×n(m-r) \times n(m−r)×n 部分是零矩阵，表示剩余的行都是线性相关的，不增加矩阵的秩。通常使用初等行变换将矩阵化简为行最简形, 一种便于解析性质和求解线性方程组的形式。

条件一个矩阵处于行最简形式（RREF）如果它满足以下条件：

主元为 1：每个主元是其所在列的唯一非零元素每一行的主元在前一行主元的右下方所有非零行都在零行之上数学表示如果用公式表示，对于一个 m×nm \times nm×n 的矩阵 AAA，其行最简形式 RRR 可以表示为：

R=RREF(A)R = \text{RREF}(A) R=RREF(A)

其中 RRR 满足上述条件。行最简形式的一个关键性质是它的唯一性：对于任何给定的矩阵 AAA，其行最简形式是唯一的。

计算行最简形式通常通过高斯-约当消元法获得，该方法是高斯消元法的一个扩展，包括以下步骤：

前向消元（形成行阶梯形式）：

选择最左侧的非零列（主列）。通过行交换使得该列的顶部元素非零。使用该主列顶部的元素将下方的所有元素消成 0。对矩阵的剩余部分重复此过程。后向消元（形成行最简形式）：

从底部非零行开始，使用每行的主元将其上方同列的所有元素消成 0。确保每个主元都是 1，如果不是，则通过缩放整行来实现。示例提供几个矩阵及其行最简形式（RREF）的例子，来展示如何通过行操作将标准矩阵转换为行最简形式。

示例1A=[123246369]→RREF[123000000]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{RREF} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} A=​123​246​369​​RREF​​100​200​300​​

示例2B=[03−664−53−78−5893−912−9615]→RREF[10−230−2401−220−7000014]B = \begin{bmatrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \end{bmatrix} \xrightarrow{RREF} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} B=​033​3−7−9​−6812​6−5−9​486​−5915​​RREF​​100​010​−2−20​320​001​−24−74​​

示例3C=[111−1112−2123−3]→RREF[101−1011−10000]C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 3 & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{RREF} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} C=​111​112​123​−1−2−3​​RREF​​100​010​110​−1−10​​